數學教你不犯錯 （The Power of Methametical Thinking）- John Ellenberg

當初好像在某個教授的臉書上看到他推薦這本書，一時衝動就在博客來上買了，買了之後就跟另外一百多本還沒看的書放在一起，某一天心血來潮就打開來看，收穫很多．數學思維可以幫你看懂假新聞，過度誇大的內容，和思考真實世界的樣貌．

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1. 在「得到」的專欄上看了不少萬維綱和吳軍談到關於數學的文章，看完了這本書有種對數學的體會，學生時代的數學教育似乎過份地著重於運算和解題技巧，欠缺了數學的思維．所謂的數學思維說的是對數字的敏感度，對數字量級的概念，對機率的理解，而計算機率其實就是對期望值的了解，能理解什麼是期望值，又能理解數字的量級，就會知道怎麼做出符合大概率的決策．所以數學的不單單只是運算或是幾何的問題，高中老師說數學是拿來描述物理現象的語言，它其實為經濟學提供了框架，他探討了決策所以也成為了管理甚至是政治當中很重要的一種思維邏輯．小到個人，中到社會國家，大到世界的運行，無一不是運用數學的思維．

2. 書中的第一章談的是線性與非線性的思維，最典型的例子就是「拉佛曲線」（Laffer curve），政府的稅收和稅率不會是線性的正相關，也就是當政府的稅收高到某一個程度之後就收不到更多的稅了，不單單是會限制人增加個人收入的動機，同時逃稅的動機也會大大上升，一個極端的狀況就是政府一毛稅都不收，跟人民賺的每一塊錢都要100%納稅的結果是一樣的．

另外一個很有名的例子就是馬爾薩斯的人口論，他認為人口會以指數級增長，糧食的生產是遠遠跟不上，這會對人類的生存產生巨大的壓力，但是很顯然人口增長和糧食並不是一個二維座標的關係，人口增長到某個程度就不會上升了，有太多原因會影響到人口的增長，不單單只是糧食，同時糧食生產的技術也會進步使得單位產能的上升．

中國多年前也擔心人口增長而執行了一胎化的政策，現在中國要面臨的問題就是巨大的人口斷層問題．同理，有許多醫學相關的論文推論20xx年後肥胖的人口，骨質疏鬆的人口，得某某病的人口會成長到多可怕的數字，這些預測也應該都是相當不精確的，任何具備數學思維的人都該質疑用任何函數推導出來的未來，都沒有把「不可預測性」納入考量，「不可預測性」（uncertainty）也是相當重要的一種數學思維，讓我不去相信錯誤的推論．

3. 書中提到了一個幾乎是現今所有醫學研究的主流思維，就是令虛無假說為真，也就是一件你覺得不可能發生的事情為真，比說A藥和安慰劑的效果是一樣，最後檢定發現會發生這件事情的機率如果低到某一個程度也就是5%，也就是說個研究看起來A藥和安慰劑一樣好的機率是5%，那我們就拒絕這個虛無假設，也就是在大部分的情況下A藥並不是跟安慰劑一樣好。

但我們並不能因此說A藥和安慰劑一樣好這件事情是錯的，因為這個檢定並不能告訴我們真偽．

4. 數學是相當講究形式主義，也就是重視定義，然而真實世界並不是如此，真實世界裡存在了許多矛盾，書中也引述了F Scott Fitzgerald相當有名的一句話，「精英日課」的同學們想必不會陌生

"The test of a first-rate intelligence is the ability to hold two opposed ideas in the mind at the same time, and still retain the ability to function.”

數學家把這個能力當作思想的基本工具，特別是當我們使用歸謬法來思考，也就是像Frquentist一樣使用虛無假設來思考，我們要先想一個你相信是錯的命題，然後再推理的過程當中好像是要證明你是對的。還有這種思考方式的放大版，就是白天想你是對的方向和論述，晚上則反過來想辦法推翻你自己。如果你發現你越來越不能推翻自己是對的，你就越能找到為什麼自己是對的理由．講到這裡數學已經不單單是運算推倒反倒更像是一種哲學，數學思維更像是一種思考力框架．